递归的定义

在数学与计算机科学中，递归(Recursion)是指在函数的定义中使用函数自身的方法。实际上，递归，顾名思义，其包含了两个意思：递和归，这正是递归思想的精华所在。

通俗点讲，我们可以把” 递归 “比喻成 “查字典 “，当你查一个词，发现这个词的解释中某个词仍然不懂，于是你开始查这第二个词。

可惜，第二个词里仍然有不懂的词，于是查第三个词，这样查下去，直到有一个词的解释是你完全能看懂的，那么递归走到了尽头，然后你开始后退，逐个明白之前查过的每一个词，最终，你明白了最开始那个词的意思。

递归的思想

递归就是有去（递去）有回（归来），如下图所示。“有去”是指：递归问题必须可以分解为若干个规模较小，与原问题形式相同的子问题，这些子问题可以用相同的解题思路来解决，就像上面例子中的钥匙可以打开后面所有门上的锁一样；“有回”是指 : 这些问题的演化过程是一个从大到小，由近及远的过程，并且会有一个明确的终点(临界点)，一旦到达了这个临界点，就不用再往更小、更远的地方走下去。最后，从这个临界点开始，原路返回到原点，原问题解决。

递归的三大要素

• 明确递归终止条件;
• 给出递归终止时的处理办法;
• 提取重复的逻辑，缩小问题规模;

明确递归终止条件

我们知道，递归就是有去有回，既然这样，那么必然应该有一个明确的临界点，程序一旦到达了这个临界点，就不用继续往下递去而是开始实实在在的归来。换句话说，该临界点就是一种简单情境，可以防止无限递归。

给出递归终止时的处理办法

我们刚刚说到，在递归的临界点存在一种简单情境，在这种简单情境下，我们应该直接给出问题的解决方案。一般地，在这种情境下，问题的解决方案是直观的、容易的。

提取重复的逻辑，缩小问题规模

我们在阐述递归思想内涵时谈到，递归问题必须可以分解为若干个规模较小、与原问题形式相同的子问题，这些子问题可以用相同的解题思路来解决。从程序实现的角度而言，我们需要抽象出一个干净利落的重复的逻辑，以便使用相同的方式解决子问题。

常见递归算法

下面总结一下常见的递归问题和实现算法。

斐波那契数列

斐波那契数列的排列是：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……依次类推下去，你会发现，它后一个数等于前面两个数的和。在这个数列中的数字，就被称为斐波那契数。

递归思想：一个数等于前两个数的和。

首先分析数列的递归表达式：

代码如下:

/**
 * 斐波那契数列的递归写法
 * @param n
 * @return
 */
long F(int n){
 if (n<=1) return n;
 return F(n-1)+F(n-2);
}

可以看到，递归写法简单优美，省去考虑很多边界条件的时间。当然，递归算法会保存很多的临时数据，类似于堆栈的过程，如果栈深太深，就会造成内存用尽，程序崩溃的现象。

阶乘

递归思想：n! = n * (n-1)!

首先分析数列的递归表达式：

代码如下:

long factorial(int n){
 if (n <=1) return 1;
 return j(n-1)*n;
}

倒序输出一个正整数

例如给出正整数 n=12345，希望以各位数的逆序形式输出，即输出54321。

递归思想：首先输出这个数的个位数，然后再输出前面数字的个位数，直到之前没数字。

首先分析数列的递归表达式：

代码如下:

/**
 * 倒序输出正整数的各位数
 * @param n
 */
void printDigit(int n){
 System.out.print(n%10);
 if (n > 10){
 printDigit(n/10);
 }
}

汉诺塔

数学描述就是：

有三根杆子X，Y，Z。X杆上有N个(N>1)穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至Y杆：

1. 每次只能移动一个圆盘；
2. 大盘不能叠在小盘上面。

递归思想：

1. 将X杆上的n-1个圆盘都移到空闲的Z杆上，并且满足上面的所有条件
2. 将X杆上的第n个圆盘移到Y上
3. 剩下问题就是将Z杆上的n-1个圆盘移动到Y上了

公式描述有点麻烦，用语言描述下吧：

1. 以Y杆为中介，将前n-1个圆盘从X杆挪到Z杆上(本身就是一个n-1的汉诺塔问题了！)
2. 将第n个圆盘移动到Y杆上
3. 以X杆为中介，将Z杆上的n-1个圆盘移到Y杆上(本身就是一个n-1的汉诺塔问题了！)

代码如下：

/**
 * 汉诺塔
 * 有柱子 x z y，最终将x上的n个圆盘借助z移动到y上
 * 递归思想：
 * 1.将x上的n-1个放入到z上，借助y
 * 2.将x上的n圆盘放到y上
 * 3.将z上的n-1个圆盘放入y
 * @param n
 * @param from
 * @param tmp
 * @param to
 */
void hanoi(int n,char from,char tmp,char to){
 if (n>0) {
 hanoi(n - 1, from, to, tmp);
 System.out.println("take " + n + " from " + from + " to " + to);
 hanoi(n - 1, tmp, from, to);
 }
}

递归的效率

还是拿斐波那契数列来做例子：

long Fib(int n){
 if (n<=1) return n;
 return Fib(n-1)+Fib(n-2);
}

这段代码应该算是短小精悍（执行代码只有一行），直观清晰，而且非常符合许多程序员的代码美学，是如果用这段代码试试计算Fib(1000)我想就再也爽不起来了，它的运行时间也许会让你抓狂。

看来好看的代码未必中用，如果程序在效率不能接受那美观神马的就都是浮云了。如果简单分析一下程序的执行流，就会发现问题在哪，以计算Fibonacci(5)为例：

从上图可以看出，在计算Fib(5)的过程中，Fib(1)计算了两次、Fib(2)计算了3次，Fib(3)计算了两次，本来只需要5次计算就可以完成的任务却计算了9次。这个问题随着规模的增加会愈发凸显，以至于Fib(1000)已经无法再可接受的时间内算出。

我们当时使用的是简单的用定义来求 fib(n)，也就是使用公式 fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)。这样的想法是很容易想到的，可是仔细分析一下我们发现，当调用fib(n-1)的时候，还要调用fib(n-2)，也就是说fib(n-2)调用了两次，同样的道理，调用f(n-2)时f(n-3)也调用了两次，而这些冗余的调用是完全没有必要的。可以计算这个算法的复杂度是指数级的。

由以上分析我们可以看到，递归在处理问题时要反复调用函数，这增大了它的空间和时间开销，所以在使用迭代可以很容易解决的问题中，使用递归虽然可以简化思维过程，但效率上并不合算。效率和开销问题是递归最大的缺点。

虽然有这样的缺点，但是递归的力量仍然是巨大而不可忽视的，因为有些问题使用迭代算法是很难甚至无法解决的。这时递归的作用就显示出来了。